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7 B0 Y1 X. [ L* Y' b（对偶重叠） # M0 m \# W* J) I" m
对偶这个词并不仅为数学所有。对偶性的概念，古今中外，在哲学、语言、美术、音乐、宗教、建筑、物理、数学等不同领域炒了几千年。可能因为语言的原因，我们中国人对对偶更是情有独衷。不过，不少国人把对偶等价为对应、对比、对立、对仗。谈文论词的人，有的就直接说对偶就是对仗。还有人更把对偶简化为成双成对的同意词。 4 N4 c- u; T* F. V9 e6 \" |- W
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刘勰的《文心雕龙》有“造物赋形，支体必双；神理为用，事不孤立。大心生文辞，运裁百虑，高下相须，自然成对”之说。虽然刘勰在评说文之道，但第一句却更是概谈自然造化，天理人伦。倒是比现在很多“学者”更深刻。
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数学以外的对偶多包含美学方面的含义和手法。中国诗词文法讲音韵形意、变化对比；哲学讲真真假假、生生灭灭、因果起源、天律人道；国画书法讲黑白浓淡、枯润干湿、抑扬顿挫；色彩素描讲冷暖明暗、虚实强弱。这些例子，大部分也是关于比较直观的两极对应或相关对比，同时在两极之间留下很大的空间，容纳更细腻的变化对比层次。
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4 V: B% H. l% m4 W b$ Z数学的对偶性的也讲“对”。一个对偶定理通常包涵两个对偶量，例如“极小极大值”和“极大极小值”、“线匹配”和点“覆盖”，“独立集”和“完全集”，“点”和“线”，一个凸多面体和它的对偶多面体等等。但数学的对偶定理中涉及到对偶量或对偶的实体，通常并不显而易见，更多是隐藏于直观表面之下。 6 W" X% o# `5 S9 x3 j
/ X: Y( R8 b' _; `这有些类似色彩上的冷暖关系。一幅画色彩上的冷暖关系虽然肉眼可见，却并不肤浅。大多数人对色彩的冷暖更是相见不相识。一幅画的明暗对比构图分布固然重要，但冷暖才是色彩之所以漂亮、有空间、有颜色的真正原因。色彩的冷暖是认识上的一大飞跃。眼界高了，可以有很多神来之笔，在混沌中创造出意想不到的绚丽。 7 F; T( A5 ~* z8 d7 j/ w
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同样，研究一个数学问题，在很多时候，首先要找出来是最能够揭示问题的本质的性质或量。如果你找到了与问题本质有关的属性或数量，也许离问题的解决就不远了。所以了解欣赏一个数学的对偶定理，定理里面的对偶量就是首先值得揣摩的地方。同时，也是学习了解数学的思维方式和探索解决问题方法的好起点。 " W# W. }7 B) D9 c$ Y+ ]! m2 Q% v
' t1 N4 `' ^7 |1 @顶上的图形，取自于我用Photoshop手画的一个图案的细节，用了Difference过滤，也相当于无数的对偶变换重叠。表面上很复杂。但一旦了解了Photoshop这个过滤所用的算法，就可以做系列的分解。
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5 ~# U$ g5 m# p8 c6 v上面提到的数学对偶性中的对偶量的例子，都是有关问题中与问题的更本性质有关。后面还会仔细介绍。下面，会用数学的第一个对偶定理的对偶量做我们的第一个例子。
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发表于 2008-2-2 10:14:48
发表于 2009-5-20 14:29:33
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