找回密码
 注册

QQ登录

只需一步,快速开始

查看: 7317|回复: 0

[CW] 闲谈对偶(四)

[复制链接]
发表于 2008-2-28 07:38:41 | 显示全部楼层 |阅读模式
<P><SPAN style="FONT-SIZE: 85%" _proxify_is_proxified="true"><FONT size=3><IMG src="http://www.chiwang.com/pb/gifs/cw67.jpg"></FONT></SPAN></P>7 F0 c2 l2 W8 c6 u% z& V, ^/ V
<P><SPAN style="FONT-SIZE: 85%" _proxify_is_proxified="true"><FONT size=3></FONT></SPAN>&nbsp;</P>- T4 t) p  ]1 v0 u4 I: V
<P><SPAN style="FONT-SIZE: 85%" _proxify_is_proxified="true"><FONT size=3>(昔日斑斓) </FONT></SPAN></P>+ C* h2 s$ H! a9 k
<P _proxify_is_proxified="true">&nbsp;</P>
. }, L( n7 X% l<P _proxify_is_proxified="true">&nbsp;</P>( c; e( Q' y) B5 j6 H- w/ t
<P _proxify_is_proxified="true">在看其它极小极大对偶定理以前,先放松一下,看些比较直观的老古董几何对偶关系。上面这幅画,算是配合一下这里的思古幽情。历史长河上上下下,昔日斑斓,任由今人各取所需。</P>
2 a4 \& u* w3 s. i<P _proxify_is_proxified="true">&nbsp;</P>
8 M6 Y% R. s9 Y. I<P _proxify_is_proxified="true">之所以说是老古董,是以为下面提到的东西确实已是昨日黄花,里面没有多少可研究、有意义的东西了。有人把它们划分成“娱乐数学”,也不无道理。当然,从它们演生出来的其它分枝还是有继续热闹的,比如群论、编码等。</P>- t% R0 `3 \: d, I
<P _proxify_is_proxified="true">&nbsp;</P>. Z2 Z# C, Y  [4 u
<P _proxify_is_proxified="true">在几何里,多面体是指由一些直线和平面围起来的几何形体。一个多面体是正多面体如果它的每个面都是一个等边形,就象下面的例子。</P>' V. {+ J% Q# h& f. ~& t
<P _proxify_is_proxified="true">&nbsp;</P>
) ~9 |9 q3 j; j<P _proxify_is_proxified="true">&nbsp;</P>' J# A; E- O* f, ^) K2 x$ S
<P _proxify_is_proxified="true"><IMG style="DISPLAY: block; MARGIN: 0px auto 10px; CURSOR: hand; TEXT-ALIGN: center" src="http://www.chiwang.com/pb/gifs/p4.png" onload="javascript:if(this.width>450) this.width=450" border=0 _proxify_is_proxified="true"></P>+ N7 b& M' G2 f4 \3 U
<P _proxify_is_proxified="true">&nbsp;</P>
% ^  i2 L, i! P<P _proxify_is_proxified="true">拿一个正多面体,在它的每个平面的中心画一个点。如果两个平面相邻,有公共的边,就在这两个面的点之间连一条线。这些新的点和线会构造出一个新的多面体(仔细想想,这并不是很显然的事)。这个新多面体就叫原来的多面体的对偶多面体。</P>0 N; m3 A' a; q8 U, @4 X
<P _proxify_is_proxified="true">&nbsp;</P>2 l( H% u1 C0 |8 P
<P _proxify_is_proxified="true">这里看一个具体的例子。一个等边四方体,也是一个正六面体。按上面描述的方法,你可以发现正六面体的对偶多面体是一个正八面体。就象下面的图一样,左边是原来的四方体,右边是放大了的它的正八面对偶多面体。</P>
' P% ^4 f* |. B  ]# H$ J. M8 X* _<P _proxify_is_proxified="true"><IMG style="DISPLAY: block; MARGIN: 0px auto 10px; WIDTH: 280px; CURSOR: hand; TEXT-ALIGN: center" src="http://www.chiwang.com/pb/gifs/cubicdual.gif" onload="javascript:if(this.width>450) this.width=450" border=0 _proxify_is_proxified="true"></P>
  l- G1 c0 c* V/ v: j8 S<P _proxify_is_proxified="true">现在,我们画画这个八面体的对偶,也就是做我们在六面体上做过的事,在每个面上画个点,然后每两个相邻面上的点之间画条线。试一试你就会看到,我们又得到一个正六面体。</P>$ V8 @3 ^) B5 q. }0 }0 S; G
<P _proxify_is_proxified="true">&nbsp;</P>. p# @5 G1 w9 y% v
<P _proxify_is_proxified="true">这当然不是偶然。如果不在乎长度和面积,你在正六面体上看到的就是“正凸多面体”的“对偶的对偶是自身”的对偶关系。</P>1 V' F) o, G% z# W- y: C5 ]# ?
<P _proxify_is_proxified="true">&nbsp;</P>/ l4 f2 ^8 z% y- `% ^5 F
<P _proxify_is_proxified="true">和前面提到的极小极大对偶定理相比,这种正多面体之间的对偶关系直接简单的多,人见人懂,动手试试就可以验证,即使要证明也不会太难,国内的中学生应该都能做得到。所以,这种对偶关系在一个多面体上只能说有趣。</P>
5 Y/ q' f% _8 C  E<P _proxify_is_proxified="true">&nbsp;</P>8 l% A9 |9 Y! l) `1 g
<P _proxify_is_proxified="true">真正有些意思的,是把它的更广泛的命题假设。例如有多少正多面体,都什么样,它们的对偶有是什么,对偶的多面体之间有些什么性质,还有别的类似的对偶关系没有等等。</P>
& i6 v8 K* _" s6 h' E' |<P _proxify_is_proxified="true">&nbsp;</P>: c5 G6 D: c' O
<P _proxify_is_proxified="true">所以说,数学和哲学常常就那么一线之差。在任何事情上,绝对是要刨根问底的。存在性肯定是第一要挖掘的,有没有一定要搞明白;起源和构成肯定不会放过,一定要看看怎么能构造出来;真伪的判别决不会含糊,要有办法鉴定的清清楚楚。</P>
, B( T5 h; s- _$ z<P _proxify_is_proxified="true">&nbsp;</P>
" l/ \  l. C6 D0 g! }<P _proxify_is_proxified="true">数学对的美学的崇拜,也决断不差于美术、音乐。凡事追求完美,简练。系统要完整,理论要丰富,形式要漂亮,证明要有节奏、方法要有创新、影响要深远、应用要广泛。。。我想,还是一句话,人做事,没有不求美的。差别,只是形式和认识的不同。</P>
6 |/ Y$ X2 a% b$ [2 c% |<P _proxify_is_proxified="true">&nbsp;</P>
3 ^4 g2 F1 _/ j! S3 b4 ~<P _proxify_is_proxified="true">后面,我们走几条不同的路,从不同角度的看看多面体对偶的脸面,以避免盲人摸象的悲剧再演。当然这麻袋里买的瓜,瓤子里说的还是数学这东西也不只是拿来折腾人的,也可以玩味一番。</P>
您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

客户端